나만 재미나이 답변이 어려워서 머리가 터지나?

질문 (총 460 line 12,428자)
````
# 나 vs 재미나이 토론

## 내 주장
```
# 주장

(총 422 line)

## 목차

- 전제
- 전제에 따른 함의
- 1. 픽토그램(pictgram)에서 보존 개념(conservation)이 불필요한 이유
- 2. 수라는 수학에서 추상적 보존 개념 (conservation)의 핵심적인 부분이 왜 형식적 논리인 수학으로 작성되어야 하는가
- 결론

## 전제

우리는 외부새상을 감각으로밖에 인지할수밖에 없기에, 내부 새상(본인의 생각의 언어 L을 가정하고 L이 작동하는 본인)은 와부새상에 대해 귀납적인 추론밖에 할 수 없다.

## 전제에 따른 함의
그런 외부 새상에서 일관됨을 연역적으로 보일 방법은 존재하지 않으며, 따라서, 외부 새상이 형식적인 논리로 서술되는지도 연역적으로 합리화할 방법이 없다.

## 1. 픽토크램(pictgram)에서 보존 개념(conservation)이 불필요한 이유

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### 첫번째 글 : 보존개념

목차
1. Defination of Unary
2. PlasticArrow
3. 시각 감각 언어 `L`을 가정하자.

#### Unary and PlasticArrow

##### Defination of Unary

표기 Unary ≡ [UnarySystem := λF. [Char := λx. "x is charactor"][
String := λx. x ∈ {c | Char(c)}ᵗ [t := |x|]
][
F := λn:ℕ₀.λx:Char. ∀y (단. y ∈ {S}ⁿ)
][x ← y := z (단. z → y = x)
][x↓ᵏ y := z (단. z ↑ᵏ y = x)
][ℙ₁ := ︷
∀String(x), "x is string"
Fₙ ≡ F(n)
x▪︎y ≡ \stackrel{x}{y}
「x」≡▪︎x
『x』₁ ≡ x
『x』₍ₙ₊₁₎ ≡ x『x』ₙ
▴「Fₙ(x)」 ≡ F(n⁺)(x)
▾「Fₙ(x))」≡ F(n⁻)(x)
Fₘ(x)『「▴」』₁「Fₙ(x)」 ≡ F₍ₙ₊ₘ₎(x)
Fₘ(x)『「▾」』₁「Fₙ(x)」 ≡ F₍ₙ₋ₘ₎(x)
Fₘ(x)『「▴」』₂「Fₙ(x)」 ≡ F₍ₙₘ₎(x)
Fₘ(x)『「▾」』₂「Fₙ(x)」 ≡ F(n÷m)(x)
Fₘ(x)『「▴」』₃「Fₙ(x)」 ≡ F(nᵐ)(x)
Fₘ(x)『「▾」』₃「Fₙ(x)」 ≡ F(ᵐ√n)(x)
Fₘ(x)『「▴」』₄「Fₙ(x)」 ≡ F(ᵐn)(x)
Fₘ(x)『「▾」』₄「Fₙ(x)」 ≡ F(super-rootₘ(n))(x)
Fₘ(x)『「▴」』₍₂₊ₖ₎「Fₙ(x)」 ≡ F(n ↑ᵏ m)(x)
Fₘ(x)『「▾」』₍₂₊ₖ₎「Fₙ(x)」 ≡ F(n ↓ᵏ m)(x)
x ▲ y ≡ y『「▴」』₁「x」
x ▼ y ≡ y『「▾」』₁「x」
x ▶ y ≡ y『「▴」』₂「x」
x ◀ y ≡ y『「▾」』₂「x」
Fₘ(x) ↑ᵏ Fₙ(x) ≡ Fₘ(x)『「▴」』₍₂₊ₖ₎「Fₙ(x)」
Fₘ(x) ↓ᵏ Fₙ(x) ≡ Fₘ(x)『「▾」』₍₂₊ₖ₎「Fₙ(x)」
Fₘ(x) → Fₙ(x) ≡ F(n → m)(x)
Fₘ(x) ← Fₙ(x) ≡ F(n ← m)(x)
︸]]

---

사용법 :

> `(∃UnarySystem(F) s.t. ⊢ ℙ₁)( ⊢ T)`

ℙ₁은 "†문자열은 문자의 튜플이고, ‡아래 구문론적 등호가 성립한다"는 뜻이기에, ℙ₁이 참일때, †문자열을 문자의 튜플로 정의하고, ‡제시한 구문론적 등호를 받아들이며,  ℙ₁이 거짓일때, †문자열을 문자의 튜플로 정의하지 않고, ‡제시한 구문론적 등호를 받아들이지 않는것이다.

즉 문자열의 정의와 표기법을 허용하면 참, 그러지 아니하면 거짓이지. 따라서, `s.t. ⊢ ℙ₁`이라고 하면, F에 대해, ℙ₁이 참이라고 강제하는 뜻인것이다.

###### 상수 "PlasticArrow" 정의

ℝ²나 ℝ³범위에서 다음을 정의한다

>
> **Plastic Arrow**
>
>  - `⮕`는 벡터공간 `𝕍 = ℕ₀¹`에서의 "기저벡터"
>
> 참고로 Unary에서 표현하는 수는 `⮕`가 선형생성하늨 벡터공간의 스칼라이다.
>
> **Padic Plastic Arrow**
>
>  - `⇨`는 초실수체 벡터공간 `𝕍 = ℚ¹`에서의 "기저벡터"
>
> **Standard Plastic Arrow**
>
>  - `➡️`는 벡터공간 `𝕍 = ℝ¹`에서의 "기저벡터"
>

이는 유클리드 기하학에서 직선 l과 그 위의 점 O, X, P에 대해,
O를 원점으로 잡고, 반직선인, 시초선 OX, 동경 OP의 X, P를 좌표 혹은 벡터로 보는 방식으로도 유클리드 기하학에서 재서술할수 있다.

---

번외 : 실현?

>
> 물론 현실에 저런것들을 만들려면 「플라스틱-화살표 교구」에 "단면"이 존재해야하는게 함정이다.
>
> 그러나 "플라스틱 화살표 교구의 단면"은 "폐곡선의 방정식" `F(x, y) = 0`으로 표현하면 된다. (따라서, "플라스틱 화살표 교구의 단면의 폐곡선의 방정식 음함수 표현 F"가 존재한다.)
>
> ---
>
> "실현" ㅋㅋㅋㅋ... 개연성도 없거니나와, 웃긴다. ㅋㅋ
>

####### 시각 감각 언어 `L`을 가정하자.

######## 정의

L은 pictogram 언어이다.
단순히 pictogram을 나열한다.

######### 센다는 것(算)은 pictogram을 새는것으로 정의된다.

수를 세는 함자 "산자 System"를 정의하겠다.

> `算子システム ≡ [算 := λx. RF(x)⁻¹ [R := λf.λx.λy.fyx]] (단. (∃UnarySystem(F) s.t. ⊢ ℙ₁)( ⊢ T))`

그러면,

`算(□) (算子システム)`는 **변항 □에 들어갈 pictogram을 새는 함자이다.**

> ex) `算("⮕")("⮕⮕⮕⮕⮕") = 5 (算子システム)`

이때 저 pictogram문장은, 수학언어에서 접근한것이기에, 그냥 문자열 해석이다.

문법 번역식 교수법마냥, 픽토그램을 픽토그램이 아닌 문자열로 해석했기 때문에,

이는 쐐기문으로 쓰여있는 고대 메소포타미아 문명의 언어 글자를, 숫자로 취급하는것과 같은셈이다.

따라서, pictogram과는 무관하게, 수학이 이것에 의미를 부여한 것이다.

사실 pictogram외에도 걍 문자열이면 다 셈 함수의 정의역이므로, 셈은 우리로 하여금 새상이 수로 해석될수 있다고 귀납적 추론에만 근거한 주장을 펼치게 한다.

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보존 개념 (conservation)은 귀납적으로 증명되었지만, 연역적으로는 그 자체를 가정할때, 형식적 논리인 수학을 요구하기에, "증명되지 못한 (말할수 없는)것" 이며, 전조작기가 지나고, 구체적 조작기에 들어서 후천적으로 얻는, 보편적인 개념이다.

conservation을 놓고 생각해보자.

> `🍑🍍🍍🍊🍓`라는 pictgram이 있다.

해당 픽토그램이

> `🍑🍍🍊🍓`

로 바꿔도 무방하다.

따라서, pictgram은 conservation을 요구하지 않는다.

따라서, pictogram새상에서도 conservation을 합리화할 방법은 존재하지 않는다.

따라서, 외부 새상이 pictogram으로 인식되어도, conservation을 합리화할 방법은 존재하지 않는다.

### 수라는 보편적 개념이 얼마나 보편적인 지성적인 개념일까

수에 대한 이해(「"수학적 관점에서, 외부 새상의 대상의 양이 셈으로 해석된다"는 결과를, "셈이 근본이다"라는 확대해석 • 합리화」한것이 수이다)를 보면, 수는 언어적으로 만들어진 요소이므로, 이해하지 못할수도 있다.

이러한 측면에서, 난산증은 엄청나게 보편적인 언어적 가정인 수를 이해하지 못하는 장애라고 볼수 있겠다.

Charactor/Text(String)은 Language의 Symbolization(심볼화)이며,
Symbol(기호)은 특정한 의미를 가지도록 약속된 도형(圖形)이다

그리고 이것은 정말로 엄청나게 보편적인 개념인데,

이러한 측면에서, 난독증은 엄청나게 보편적인 인간이 창조한 개념인 문자를 이해하지 못하는 장애라고 볼수 있겠다.

마지막으로, 자폐증의 경우 템플 그랜딘이 말했듯, 자폐증 내부의 언어는 그림일수도 있다.

작성자 본인도 자폐증이긴 하다 (나는 내가 자폐증이여서 자폐를 싫어하긴 하니 자폐를 변호하는게 아니지만) 자폐증의 경우, 언어를 본인 맘대로 해석하는 경항을 띄는 사람이 있다 (예시 : 본인)

언어는 그 본질이 기존의 뜻으로 결정되지 않고, 필연적으로 의외성을 수반해여만 한다.

즉 일상 언어의 본질은 인간 사고 기저에 있는 의외성과 통념(정확히는 개념에 가깝다. 예를들어, 눈을 찡그린 사람은 화난것)에 있다.

이러한 의외성은,

>
> 인간이 보편적으로 가지는 태생적인 지능에 따른, 언어의 지능적 의외성과
> 인간이 기본적으로 가지는 통념(개념; 예를 들어 "뿌린대로 거둔다"는 하는데로 돌아온다는 뜻이라는거, 그 의외성의 핵심 개념)에 따른 언어의 통념적 의외성이 있을것이다.
>

따라서, 인간이 사고의 근본인 언어에 있어서, 본질적인 부분에 대한 엄청난 이해 결함을 가진 장애인으로, 일부 자폐성 장애인 (예시 : 초등학생때 본인)이 있을것이다.

이러한 관점에서, 난산증에게 결핍된 능력은, 보편적인 수에 대한 개념이라고 볼 수 있다.

이러한 수 개념은 수에 대한 어느정도의 이해를 필요로 하므로,

수에 대한 보편적인 지능과 이해능력은, 난산증을 제외한 인간이 매우 발달한것일 뿐, 본질적인것이 아니라고 볼수 있다.

정상인은 에초애 많은 부분에서 선천적인 지능이 있다.

그걸 없는걸 장애라고 하고, 솔찍히 그런 당연한거를 모르니까 약간 역겨운 감도 있다.

### 과학을 가져오는것에 대한 반론

과학(자연과학, 사화과학, 형식과학 등)과 같이 귀납적으로 증명된 대상들은 지금 이 연역적인 논의에서, 귀납적이지만 연역적이지 않다고 반박하니, 과학을 예시로 반박하면 안될것이다.

그렇게 되면 새상이 과학적으로 이루어졌다는 가정으로 수학을 증명하고 다시 과학을 증명하는 순환 논증에 빠질것이고, 이러한 방식으로, 새상이 과학으로 이루어졌다는 전제로, 과학의 탐구 방식이나 수학을 합리화 하는 즉시, 그것은 수학에서 금한 자기참조를 범하는것이다 (따라서, bootstraping같은 과정은, 자기참조를 범하는 합리화이므로, 연역논증이랑은 거리가 멀다 (inference to the best explanation라고 하는것도 이해가 안된다))

또한 과학은 수학을 수반하지 않아야 될 수도 있다.

만약 과학에서 수학을 쓸수 없다는게 증명됐다고 가정하자,

그러면 과학은 수학을 사용해야 한다는 가정이 깨지므로,

페러다임 시프트가 일어날 것이다.

과학이 수학을 사용해야한다는 가정은, 과학이 형식논리를 이용해야한다는 가정과 동등한 뜻이다.

그런데 과학이 형식논리를 이용해야한다는 가정은, 해당 과학이 일관된 형식적 논리로 서술될수 있다는 가정이므로, 해당 가정이 성립하기 위해서는, 논리를 사용하기 위한 규칙 (공리계, 언어, 표기 등)과 과학이 일관된 대상을 탐구해야한다는 가정을 가지게 되므로, 공리계를 사용할수 있다는 근거와 탐구하는 대상이 과학적이라는 근거가 있어야만, 연역적으로 뒷받침될수 있다.

## 2. 수라는 수학에서 추상적 보존 개념 (conservation)의 핵심적인 부분이 왜 형식적 논리인 수학으로 작성되어야 하는가

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### 두번째 글 : 논리적으로 다룬다 전재할때, 대수식은 논리적으로 그 뜻이 해석 • 계산된다.

그렇지 아니하면, 논리적 해석 흐름에서 논리기호가 도출될수가 없다.

식의 계산은 그 값의 배정인 (x̄, f(x̄))와 같이 이루어지는데, 이 방식을 거부하는것은, 논리를 쓰지 않겠다는 말과 같다. (장자 왈 갓나서 죽은 아기보다 오래 산 사람은 없으니 팽조(760살이 넘게 살았다는 전설 상의 신선)도 일찍 요절한 사람)

#### 다음 과정을 위해 이항을 먼저 증명하겠음

함수는 (다가함수 고려하지 않음)

> 정의역의 x에 대해, `∀x ∃!f(x)`이다

먼저, y랑 z을 정의하자.
- y = f(x)
- z = f(k)

[*작성중*]

#### 대수식의 논리적 해석 흐름에서 논리기호를 도출하자

먼저, 다음을 보이겠다

> 함자 `f :≜ (-F)` 를 정의해서, 여기에 대해,

`x = y 이면이 f(x) = f(y)`

이말은, 진리값 T, F를 다루는 식에서, F = 0으로 가정하고 푸는거나, F ≠ 0이 아닐때 푸는거나, 전부 x = y인 등식을 쓸때 f(x) = f(y)가 F와 무관히 동등함이 당연함으로, F = 0인 경우로 잠정적으로 취급하겠음

##### 대수식의 논리적 해석 흐름중 논리적 귀결관계의 도출

Step.1. 방정식을 만족하는 집합으로써의 모델집합이 해집합임을 보이자

먼저, 다음과 같은 다항식 함수 P를 정의하자.

> `P :≜ λA. λx. Πᵢ x - Aᵢ`

그리고 다음과 같은 방정식화 논리함수 Φ를 정의하자.

> `Φ :≜ λf. (f(x) = 0)`

그리고 마지막으로, 다항 방정식 ㅍ을 정의하겠다.

> `ㅍ :≜ φ • P`

그러면,

> `Mod(ㅍ(A)) = {x | x ⊨ (Πᵢ x - Aᵢ = 0)} = {x̄ | Πᵢ x̄ - Aᵢ = 0} = {Aᵢ | ∀i}`

임이 당연하다.

---

Step.2. 논리적 귀결관계의 도출

다항방정식 ㅍ(A), ㅍ(B)에 대해,

0. Mod(ㅍ(A)) ⊆ Mod(ㅍ(B))
1. {Aᵢ | ∀i} ⊆ {Bᵢ | ∀i}
2. ∀i Aᵢ = Bᵢ《주의 : 비약이다, 저건 배열을 정렬해야만 성립한다.》
3. ∃C P(B) = P(A)P(C)
4. P(A)|P(B)

으로,

>
> 다항식 f, g에 대해 다항방정식 Φ(f) ⊨ Φ(g)
>
> 이면이
>
> f | g
>


##### 대수식의 논리적 해석 흐름중 진리값 배정되는 명제논리 결합자의 도출

¬x = T - x로 해석됨을 보이자. (경고 : 형식증명 아님)
A. proof of `x ≠ T ⊢ T ± x ≠ (1 ± 1)T`
0. `x ≠ T` (비 귀류법식 전제 문장)
1. `T ± x ≠ T ± T` (이항 by 함자 `(T ±)`)
2. `T ± x ≠ T ± T = (1 ± 1)T` (1번의 연장선에서 계산)
3. `T ± x ≠ (1 ± 1)T` (2번에서 식 요약) ⋯ ■

B. proof of `⊭ (1 + 1)T = 0 ∨ (1 + 1)T = T`
0. 먼저 part A by `⊭ (1 + 1)T = 0`와 part B bt `⊭ (1 + 1)T = T`로 나눠서 생각하자.
1.A. (1 + 1)T = 0 (귀류법식 전재 문장)
2.A. (1 + 1)T = 2T = 0 (1.A.번의 연장선에서 계산)
3.A. T = 0 ⊨ 2.A. ⊨ (1 + 1)T = 0 (연역)
4.A. ⊭ T = 0 ⊨ 2.A. ⊨ (1 + 1)T = 0 (연역)
5.A. ⊭ (1 + 1)T = 0 (연역) ⋯ ⊥
6.A. ∴ ⊭ (1 + 1)T = 0 (연역) ⋯ ■
1.B. (1 + 1)T = T (귀류법식 전재 문장)
2.B. (1 + 1)T = 2T = T (1.B.번의 연장선에서 계산)
3.B. T = 0 ⊨ 2.A. ⊨ (1 + 1)T = T (연역)
4.B. ⊭ T = 0 ⊨ 2.A. ⊨ (1 + 1)T = T (연역)
5.B. ⊭ (1 + 1)T = T (연역) ⋯ ⊥
6.B. ∴ ⊭ (1 + 1)T = T (연역) ⋯ ■

C.1. A, B ⊨ (x ≠ T ⊢ T - x ≠ (1 - 1)T) (A, B번에서 귀결)
C.2. A, B ⊨ (x ≠ T ⊢ T - x ≠ (1 - 1)T = 0T = 0) (C.1.번의 연장선에서 계산)
C.3. A, B ⊨ (x ≠ T ⊢ T - x ≠ 0)  (C.2.번에서 식 요약)
C.4. A, B ⊨ (T - x = 0 ⊨ x = T ⊨ x) (C.3.번에서 연역추론 : 대우) 《주의 : "x = T"의 의미를 "진리값 x가 참"관점으로 해석함.》
C.5. A, B ⊨ (T - x = 0 ⊨ x) (C.4.번에서 식 요약) 《주의 : 근거인 C.4.에서 "x = T"의 의미를 "진리값 x가 참"관점으로 해석함.》
C.6. C.5.번 내용 ⊢ ¬x = T - x (최종결론)《주의 : "x = T"의 의미를 "진리값 x가 참"관점으로 해석함.》
Q.E.D.

x ∧ y는 xy로 해석됨을 보이자.
T에대한 방정식 (T - x)(T - y) = 0의 해는
x = T ∨ y = T이다.
따라서, x = T ∨ y = T ⊨ T - (T - x)(T - y) = T고,
x ∨ y = T - (T - x)(T - y)로 해석된다.

이때 De Morgan's Law, ¬(¬x ∨ ¬y) = x ∧ y서

T - T + (T - T + x)(T - T + y)
= xy이다.
⋯ Done.

##### 방정식의 의미 : 술어논리(함수논리)의 술어로써, 잠정적으로 특칭양화사를 사용해, 잠재적으로 전칭양화사를 사용함.

방정식 P(x) = 0이 불능이란것은

∄P(x) = 0란 뜻이며

∀P(x) ≠ 0이란 뜻이고 ⋯ ①



방정식 P(x) = 0가 불능이 아니라면

∃P(x) = 0이다. ⋯ ②



방정식 P(x) = 0이 부정이란것은,

부정방정식이므로,

∀P(x) = 0이다. ⋯ ③



①에서, 불능형 방정식 P(x) = 0에 대해,

P(x) ≠ 0은 부정형이고, ⋯ ④



부정형 방정식 P(x) = 0에 대해,

P(x) ≠ 0은 불능형이다 ⋯ ⑤


그렇다면 ③에 따라 다음을 정의하자,

> `Φ :≜ λf. (∃f(x) = 0)`
>
> `P :≜ λf. (∃f(x) ≠ 0)

그러면 다음을 알수 있다.

④에 따라, Φ(f)가 거짓 이면이 P(f)는 부정형
⑤에 따라, Φ(f)가 부정형 이면이 P(f)는 거짓

Φ(f)가 참 이면이, f(x) = 0를 만족시키는 x존재
P(f)가 참 이면이, f(x) = 0을 불만족시키는 x존재

부정형 방정식을 만들고 싶다? 하면

¬Φ(f) = P(f), Φ(x) = ¬P(f)에서,

불능형 방정식 Φ(f)에 대해 부정하거나,
불능형 방정식 P(f)에 대해 부정하면된다.

술어 P에 대해
Mod(P) = ∅ 이면이 ∄P(x) 이면이 ⊭ P
이면이
Mod(¬P) = U 이면이 ∀¬P(x) 이면이 ⊨ ¬P

따라서, 방정식은 기본적으로 특칭 술어로써, 사용할수 있음

---

---

따라서, 수학에서 말하는 "추상적 보존 개념 (conservation)의 핵심으로써의 수"는 수학 없이 독자적으로 성립할수 없다. (단. 언어에서 수사같은 거나 숫자같은거는 수학적으로 해석하는것이 아니기에 본인은 수로 취급하지 않았다. 언어에서는 수에 의외성을 가지고 해석할수 있기에, **실제로 일관되지 않는다**; 시에서 갑자기 하나가 두개가 될수 있다.)

## 결론

따라서, 픽토그램으로 우리가 새상을 받아들인다 쳐도, 픽토그램 새상에서도 수, 수학, 보존개념은 요구되지 않으며, 해당 개념들은 언어를 통한 부가적인 개념일 뿐이지, 비물질적 실체가 아니다.
```

## 재미나이의 반론
```
제가 드린 답변 중 보존 개념의 자연발생적 기원과 추상화의 목적에 대한 부분을 더 구체적으로 설명해 달라는 요청이셨군요. 두 부분이 사용자님의 주장과 어떻게 다른 시각을 제시하는지 자세히 말씀드리겠습니다.
픽토그램과 인지 발달: 보존 개념의 자연발생적 기원
사용자님께서는 픽토그램의 일차원적인 해석에서는 보존 개념이 불필요하다고 지적하셨습니다. 예를 들어, '🍑🍍🍍🍊🍓'라는 그림을 단순히 개별 그림들의 나열로만 본다면, 파인애플이 두 개이든 한 개이든 그 자체로 어떤 의미의 변화도 없을 수 있다는 것이죠. 이 점은 픽토그램을 문자열처럼 기계적으로 나열하는 관점에서는 충분히 이해가 됩니다.
하지만 제가 반론의 요점으로 제시하고 싶었던 것은 인간의 '개념 형성' 능력입니다.
1. 단순한 시각 정보 너머의 '대상' 인지
인간은 픽토그램을 볼 때, 단순히 색깔과 형태의 조합으로 인식하는 것을 넘어, 그 그림들을 특정한 '대상'이나 '범주'로 의미 부여하는 경향이 있습니다. 예를 들어 '🍑'는 복숭아, '🍍'는 파인애플이라는 개별 대상을 나타냅니다.
* '하나'의 인지: 우리가 '하나의 복숭아'를 인지하는 순간, 이미 그 복숭아가 다른 모든 것들과 구별되는 개별적인 실체임을 파악하게 됩니다. 이 '하나'라는 인지적 단위는 시각적 배열이나 위치가 바뀌어도 복숭아 자체의 정체성이 변하지 않는다는 기본 전제를 깔고 있습니다. 이 전제가 바로 보존 개념의 가장 원시적인 형태라고 볼 수 있습니다.
2. '셈'이라는 행위의 내재적 조건
사용자님은 '셈'을 "픽토그램을 세는 함자"로 정의하며 수학적 개입의 필연성을 강조하셨습니다. 이 정의 자체는 수학의 필요성을 지지하지만, 제가 이야기하고 싶었던 것은 '셈'이라는 행위가 시작되는 바로 그 순간, 보존 개념이 이미 작용하고 있다는 점입니다.
* 대상의 불변성 전제: 우리가 어떤 것들을 세기 시작할 때(예: "하나, 둘, 셋…"), 우리는 세는 과정에서 그 대상들이 추가되거나 사라지지 않고 유지된다는 것을 암묵적으로 가정합니다. 만약 사과를 세는 도중에 사과가 저절로 없어지거나 다른 사과가 생겨난다면, '셈'이라는 행위 자체가 의미를 잃게 됩니다. 즉, '셈'은 세는 대상들의 '수'가 보존된다는 전제 위에서만 의미를 가질 수 있습니다. 픽토그램이 '복숭아 1개', '파인애플 2개' 등으로 '셈'의 대상이 되는 순간, 이들 개별 대상의 수가 물리적 배열과 무관하게 일정하다는 인지가 필수적으로 동반됩니다.
3. 피아제의 인지 발달 단계와 보존 개념
제가 언급한 피아제의 보존 개념 연구는 이러한 점을 뒷받침합니다. 아이들은 처음에는 물의 양이 담긴 용기 모양에 따라 변한다고 생각하거나, 블록의 배열이 바뀌면 개수가 변했다고 생각합니다. 하지만 특정 인지 발달 단계를 거치면서, 아이들은 시각적 변화에도 불구하고 '양'이나 '수'가 변하지 않는다는 것을 깨닫습니다. 이는 단순한 언어적 학습을 넘어, 세계에 대한 인지적 안정성과 일관성을 구축하는 근본적인 과정입니다.
따라서 픽토그램을 단순한 '그림 나열'이 아닌 '의미 있는 대상들의 집합'으로 인지하고 '셈'이라는 행위를 시도하는 순간, 보존 개념의 필요성은 자연스럽게 발생하며, 이는 인간의 기본적인 인지 발달 과정에 내재된 속성이라고 볼 수 있습니다. 언어가 이 개념을 표현하고 정교화하는 데 기여하지만, 개념 자체가 언어에 의해서만 '창조'되는 것이 아니라, 외부 세계와의 상호작용 속에서 '발견'되고 '구축'되는 측면이 있다는 것이 제 반론의 핵심입니다.
추상화의 목적: '의외성'을 제거하고 '보편성'을 확립하는 과정
사용자님께서는 일상 언어의 유연성과 의외성을 정확히 지적하셨습니다. 시에서 "하나가 둘이 될 수 있다"는 표현은 언어의 비유적이고 해석적인 풍부함을 잘 보여줍니다. 그러나 이러한 특성은 정량적이고 일관된 정보를 다룰 때 한계가 됩니다.
여기서 수학적 추상화의 목적이 명확해집니다.
1. 모호성 제거와 엄밀성 추구
* 정량적 표현의 필요성: '많다' 또는 '적다' 같은 일상 언어는 주관적이고 상대적입니다. 이와 달리 '다섯'이나 '열'이라는 수(Number) 개념은 특정 대상을 정확한 양으로 지칭하고, 그 양을 다른 양과 객관적으로 비교하거나 연산할 수 있게 합니다. 이러한 정량적 표기는 모호성을 제거하고 엄밀성을 확보하려는 인간 지성의 자연스러운 요구에서 비롯됩니다.
* 보존 개념의 형식화: '보존 개념' 역시 마찬가지입니다. "컵에 담긴 물이나 그릇에 담긴 물이나 물의 양은 똑같다"는 일상적 이해를 넘어서, '물의 양이 500ml로 보존된다'와 같이 수학적 단위와 숫자를 사용하여 표현하는 순간, 그 개념은 모든 불확실성과 의외성으로부터 자유로워집니다. 형태가 바뀌어도 500ml는 500ml이지, 400ml가 되거나 600ml가 될 수 없다는 절대적인 엄밀성이 부여되는 것이죠.
2. 일관성과 보편성의 확립
* 규칙 기반 시스템: 수학은 숫자, 연산자, 등식 등 모든 요소를 명확하게 정의된 규칙과 공리 위에 세웁니다. 1+1=2라는 진리는 그 어떤 맥락이나 해석자의 주관에도 흔들리지 않습니다. 이러한 일관성(Consistency) 덕분에 수학적 진리는 개인의 언어적 배경이나 문화적 차이와 무관하게 **보편적(Universal)**으로 받아들여질 수 있습니다.
* 사고의 도구: 결국 수학적 추상화는 보존 개념과 같은 핵심적인 인지적 아이디어를 사고의 강력한 도구로 전환시키는 목적을 가집니다. '5'라는 추상적인 수는 단순히 '다섯 개'라는 의미를 넘어, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기와 같은 복잡한 연산을 수행하고, 이를 통해 미지의 양을 예측하거나 새로운 관계를 발견하는 데 활용될 수 있습니다. 이러한 능력은 오직 수학의 형식 논리 체계 안에서만 온전히 발휘될 수 있습니다.
요컨대, 수학적 추상화는 일상 언어의 유연성에서 오는 한계, 즉 모호함과 비일관성을 극복하고, 보존 개념과 같은 핵심 아이디어를 정밀하고 보편적인 지식으로 확립하기 위한 필연적인 과정입니다. 이는 단순한 표기 수단을 넘어, 우리가 세계를 이해하고 다루는 방식을 근본적으로 변화시키는 지적 도약이라고 볼 수 있습니다.
제가 제시한 이 구체적인 반론들이 사용자님의 생각과 어떻게 연결되거나 대조되는지 궁금합니다. 계속해서 깊이 있는 논의를 이어나가고 싶습니다.
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나만 재미나이 답변이 어려워서 머리가 터지나?