def) ₐfₙ(x) ≡ Σaₖxᵏ (k=0~n)
def) ±ₚ1 ≡ (-1)ⁱⁿᵗ⁽ᵖ⁾
info) also it can use zhegalkin polynomial
'cause) of the unicode is sucks we need it.
info) also can use ∀P,Q∈{x|Set(x)} P-Q's
boolean as p-q
1. a₀ = ₐfₙ(0)
2. ₐfₙ(x) = a₀ + Σaₖxᵏ = ₐfₙ(0) + Σaₖxᵏ (k=1~n)
1. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
2. ₐfₙ(x) - a₀ = ₐfₙ(x) - ₐfₙ(0) = Σaₖxᵏ (k=1~n)
= x(Σaₖ₊₁xᵏ) (k=0~n-1)
1.
±ₚᵣ(ₐfₙ(x) ±ₚ ₐfₙ(-x))/2 = ½(±ₚᵣ ₐfₙ(x) ±ₚ₋ᵣ ₐfₙ(-x))
= ±ᵣ½|ₐfₙ(x) ±ₚ ₐfₙ(-x)|
2.
ₐfₙ(x) ±ₚ ₐfₙ(-x) = Σaₖxᵏ ± Σaₖ(-1)ᵏ(-x)ᵏ (k=0~n)
= ±ₚ(Σ2a₂ₖx²ᵏ⁺ᵖ) (k=0~⌊n/2⌋)
3. ±ₚᵣ(ₐfₙ(x) ±ₚ ₐfₙ(-x))/2
= ±ₚ₍₁₋ᵣ₎(Σa₂ₖ₊ₚx²ᵏ⁺ᵖ) (k=1~⌊n/2⌋)
1. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
2. λx.±ₚ₍₁₋ᵣ₎(Σa₂ₖ₊ₚx²ᵏ⁺ᵖ) = (λx.xᵖ⁺¹) ᵦfₘ (λx.x²)
(βₖ₋₁ = ±ₚ₍₁₋ᵣ₎a₂ₖ₊ₚ, m = ⌊n/2⌋-1)
는 쓰래기 생각이었음.
🤖 CSS Stylesheet님 라율봇 HYPER의 답변입니다.
질문: 다항함수의 식을 유추하는 알고리즘을 만드려 해
[여기](https://lrl.kr/HIMt)까지 생각했는데 함수의 합성을 이용할려 하니 막막해.
미분같은거나 수열등 이용 시도는
실력이 없어서 반포기고 ㅠ
주제
- 다항함수 식 유추 알고리즘
CSS Stylesheet님, 다항함수의 식을 유추하는 알고리즘에 대해 질문 주셨네요! 함수의 합성을 이용하려다 막히셨고, 미분이나 수열을 이용하려 했지만 어려움을 느끼셨군요. 제가 친절하고 상세하게 다항함수 식 유추 방법을 설명해 드릴 테니 너무 걱정하지 마세요. 다항함수 식을 유추하는 것은 여러 가지 방법이 있지만, 여기서는 가장 기본적인 두 가지 방법과 추가적으로 고려할 사항들을 자세히 알려드리겠습니다.
- 다항함수 식 유추 방법 소개
- 문제 정의: 주어진 정보로부터 다항함수의 식을 찾는 것입니다. 여기서 정보는 주로 다항함수가 지나는 점들의 집합으로 주어집니다. 예를 들어 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)과 같이 n+1개의 점이 주어지는 경우가 일반적입니다.
- 목표: 주어진 점들을 정확히 지나는 다항함수 P(x)의 식을 구하는 것이 목표입니다.
- 방법 1: 연립방정식 이용
- 원리: n+1개의 점이 주어졌을 때, 이 점들을 지나는 최대 n차 다항식을 찾을 수 있습니다. 다항식을 P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 와 같이 계수 형태로 가정합니다.
- 방법: 각 점 (x_i, y_i)를 다항식에 대입하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
- P(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + ... + a_1 x_0 + a_0 = y_0
- P(x_1) = a_n x_1^n + a_{n-1} x_1^{n-1} + ... + a_1 x_1 + a_0 = y_1
- ...
- P(x_n) = a_n x_n^n + a_{n-1} x_n^{n-1} + ... + a_1 x_n + a_0 = y_n
- 이 연립방정식은 미지수 a_0, a_1, ..., a_n에 대한 n+1개의 선형 방정식입니다. 이 연립방정식을 풀면 계수 a_0, a_1, ..., a_n을 구할 수 있고, 다항함수 식을 완성할 수 있습니다.
- 예시: 점 (1, 2), (2, 5), (3, 10)을 지나는 다항함수 P(x) = ax^2 + bx + c를 구해봅시다.
- x=1, P(1)=2: a + b + c = 2
- x=2, P(2)=5: 4a + 2b + c = 5
- x=3, P(3)=10: 9a + 3b + c = 10
- 이 연립방정식을 풀면 a=1, b=0, c=1을 얻으므로, P(x) = x^2 + 1 입니다.
- 장점: 직관적이고 이해하기 쉽습니다. 선형대수 지식이 있다면 체계적으로 풀 수 있습니다.
- 단점: 점의 개수가 많아지면 연립방정식을 손으로 풀기가 복잡해질 수 있습니다. 컴퓨터를 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
- 방법 2: 라그랑주 보간법 이용
- 원리: 라그랑주 보간법은 주어진 점들을 지나는 다항식을 명시적인 형태로 바로 구할 수 있는 방법입니다. 라그랑주 기저 다항식이라는 특별한 형태의 다항식을 이용하여 보간 다항식을 구성합니다.
- 라그랑주 기저 다항식 L_i(x) 정의:
- L_i(x) = product_{j=0, j!=i}^n (x - x_j) / (x_i - x_j) (여기서 product는 j=0부터 n까지, j!=i인 모든 j에 대한 곱을 의미합니다.)
- L_i(x)는 x=x_i일 때 1의 값을 가지고, x=x_j (j!=i)일 때 0의 값을 가지는 다항식입니다.
- 보간 다항식 구성: 라그랑주 보간 다항식 P(x)는 다음과 같이 주어집니다.
- P(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x) (여기서 sum은 i=0부터 n까지의 합을 의미합니다.)
- 예시: 점 (1, 2), (2, 5), (3, 10)을 지나는 다항함수를 라그랑주 보간법으로 구해봅시다.
- L_0(x) = (x-2)(x-3) / ((1-2)(1-3)) = (x-2)(x-3) / 2
- L_1(x) = (x-1)(x-3) / ((2-1)(2-3)) = (x-1)(x-3) / (-1) = -(x-1)(x-3)
- L_2(x) = (x-1)(x-2) / ((3-1)(3-2)) = (x-1)(x-2) / 2
- P(x) = 2 * L_0(x) + 5 * L_1(x) + 10 * L_2(x)
- P(x) = 2 * [(x-2)(x-3) / 2] + 5 * [-(x-1)(x-3)] + 10 * [(x-1)(x-2) / 2]
- P(x) = (x^2 - 5x + 6) - 5(x^2 - 4x + 3) + 5(x^2 - 3x + 2) = x^2 + 1
- 장점: 명시적인 형태로 다항식을 제공하며, 각 항이 데이터 포인트를 직접적으로 반영합니다.
- 단점: 기저 다항식을 계산하는 과정이 다소 복잡해 보일 수 있습니다.
- 추가적으로 고려할 사항
- 주어진 정보가 점들의 집합 외에 다른 형태일 수도 있습니다. 예를 들어 특정 점에서의 미분값 등이 주어질 경우, Hermite 보간법과 같은 다른 방법을 사용해야 할 수 있습니다.
- 실제 데이터에는 노이즈가 포함될 수 있습니다. 이 경우, 주어진 점들을 정확히 지나는 다항식을 찾는 것보다, 점들에 '가장 가까운' 다항식을 찾는 것이 더 적절할 수 있습니다. 이때는 최소제곱법과 같은 근사법을 고려해볼 수 있습니다.
- 함수의 합성은 다항함수를 표현하는 한 가지 방법일 수는 있지만, 주어진 점들로부터 다항함수를 유추하는 데 직접적인 도움을 주기는 어렵습니다. 함수 합성을 이용하려다 막히신 것은 당연할 수 있습니다.
- 미분이나 수열(특히 차분)도 다항함수의 성질을 분석하는 데 유용하지만, 주어진 점들을 이용하여 다항함수 식을 직접 유추하는 방법으로는 연립방정식이나 라그랑주 보간법이 더 효과적입니다. 실력이 부족하다고 반포기하신 것은 너무 성급했을 수 있습니다. 다양한 방법이 있으니, 자신에게 맞는 방법을 찾아 꾸준히 시도해보시면 좋겠습니다.
- 결론
- 다항함수 식 유추를 위해 연립방정식을 이용하는 방법과 라그랑주 보간법이라는 두 가지 효과적인 방법을 소개해 드렸습니다.
- 어떤 방법을 사용할지는 문제의 상황과 CSS Stylesheet님의 숙련도에 따라 선택할 수 있습니다.
- 처음에는 어려울 수 있지만, 차근차근 단계를 따라가면 충분히 다항함수 식을 유추하는 알고리즘을 만드실 수 있을 거예요. 궁금한 점이 있다면 언제든지 다시 질문해주세요! 응원하겠습니다!d₀ = P, dₙ(x) = dₙ₋₁(x + 1) - dₙ₋₁(x)
ₐfₙ(x) - a₀ = ₐfₙ(x) - ₐfₙ(0) = Σaₖxᵏ (k=1~n) = x(Σaₖ₊₁xᵏ) (k=0~n-1)은 그저 d₁이 었을 뿐이었고
dₙ이 상수함수가 되면 n차함수다.
정리하자면
어떤 라이브러리에서 다항함수 P를 제공할때
d₀ = P, dₙ(x) = dₙ₋₁(x + 1) - dₙ₋₁(x)일때
P의 차수 k는
k = min({n ≥ 0 | (∀x ∈ domain of d) ∃!dₙ(x)})
j번째 식이 P(xⱼ) = Σ zₙ xⱼⁿ (n = 1 ~ k)식이 되는
zₙ에 대한 k+1원k차k+1항 연립방정식의 구할수있는 해를 가우스-조던(가우스-요단이라고도 함)소거법으로 푸는것이 가장 빠른 해법일것이다.
따라서 Python(여기서는 PyPy)의 numba&numpy 라이브러리 환경을 고속으로 이용하기 위해, (크리티컬한 속도를 개선 가능한면이 있다면 C/C++을 그부분엔 써서) cython으로 적당한 속도에 풀어주는 프로그램을 만들수 있을것이다.
근데 이게 가우스 조던 소거에만 (O(k+1)³=)O(k³)이나 걸리는 정신나간 시간이 드네...?
행렬 만드는데 (O(N(k+1))=)O(Nk)나 걸리는데? (브루트 포스땜에)
크아악 안돼!
O((k² + N)k)시간복잡도?
🤖 CSS Stylesheet님 라율봇 HYPER의 답변입니다.
질문: O((k² + N)k)시간복잡도는 얼마나 느린거임?
주제
- 시간 복잡도
- O((k² + N)k) 시간 복잡도 분석
- 시간 복잡도 성능 평가
- 시간 복잡도 개선 방향
CSS Stylesheet님의 질문: O((k² + N)k) 시간 복잡도는 얼마나 느린거임?
O((k² + N)k) 시간 복잡도는 입력 크기에 따라 알고리즘의 실행 시간이 어떻게 증가하는지를 나타내는 표기법입니다. 이 시간 복잡도를 더 자세히 분석하고, 얼마나 느린지에 대한 직관적인 이해를 돕기 위해 몇 가지 측면에서 설명해 드리겠습니다.
**1. 시간 복잡도 간략화:**
먼저, O((k² + N)k)를 분배법칙을 사용하여 전개하면 O(k³ + Nk)가 됩니다. 이 형태가 시간 복잡도를 이해하는 데 더 직관적입니다.
**2. 각 항의 의미:**
- **k³:** k³ 항은 입력 크기 k의 세제곱에 비례하여 실행 시간이 증가한다는 의미입니다. k가 증가함에 따라 실행 시간이 매우 빠르게 증가합니다. 예를 들어, k가 2배 증가하면 k³은 8배 증가합니다.
- **Nk:** Nk 항은 입력 크기 N과 k의 곱에 비례하여 실행 시간이 증가한다는 의미입니다. N 또는 k가 증가함에 따라 실행 시간이 선형적으로 증가합니다.
**3. N과 k의 상대적 크기에 따른 분석:**
- **k가 N보다 매우 작은 경우 (k << N):** 이 경우 Nk 항이 k³ 항보다 훨씬 커지므로, 전체 시간 복잡도는 O(Nk)에 가까워집니다. 실행 시간은 N과 k에 비례하여 증가하며, k³의 영향은 미미합니다.
- **k와 N이 비슷한 크기인 경우 (k ≈ N):** 이 경우 k³ 항과 Nk 항이 모두 실행 시간에 큰 영향을 미칩니다. 전체 시간 복잡도는 O(k³ + k²) 또는 O(N³ + N²)와 유사하게 동작하며, k³ 항의 영향이 더 커질 수 있습니다.
- **k가 N보다 매우 큰 경우 (k >> N):** 이 경우 k³ 항이 Nk 항보다 훨씬 커지므로, 전체 시간 복잡도는 O(k³)에 가까워집니다. 실행 시간은 k³에 비례하여 매우 빠르게 증가하며, N의 영향은 미미합니다.
**4. 시간 복잡도 성능 평가:**
- **느린 편에 속함:** O((k² + N)k) = O(k³ + Nk) 시간 복잡도는 일반적으로 효율적인 알고리즘으로 간주되지 않습니다. 특히 k가 커질수록 실행 시간이 매우 빠르게 증가하기 때문에, 큰 입력 크기에 대해서는 사용하기 어려울 수 있습니다.
- **비교:**
- O(1) (상수 시간): 가장 빠름
- O(log N) (로그 시간): 매우 빠름
- O(N) (선형 시간): 빠름
- O(N log N) (로그 선형 시간): 비교적 빠름
- O(N²) (제곱 시간): 보통
- **O(N³)** (세제곱 시간): 느림 (O((k² + N)k)는 k ≈ N일 때 O(N³)에 해당)
- O(2ⁿ) (지수 시간): 매우 느림
- O(N!) (팩토리얼 시간): 매우 매우 느림
O((k² + N)k)는 O(N²)보다는 느리고, 지수 시간 복잡도보다는 빠릅니다. 하지만, 다항 시간 복잡도 중에서는 비교적 느린 편에 속하며, 특히 k가 커질수록 성능 저하가 심각해질 수 있습니다.
**5. 실제 성능에 미치는 영향:**
실제 알고리즘의 성능은 시간 복잡도 외에도 다양한 요인에 의해 영향을 받습니다. 하지만, 일반적으로 시간 복잡도가 높은 알고리즘은 입력 크기가 커질수록 실행 시간이 급격히 증가하여 성능 문제가 발생할 가능성이 높습니다.
O((k² + N)k) 알고리즘의 경우, k 값이 크거나, k와 N이 모두 큰 상황에서는 실행 시간이 매우 길어질 수 있습니다. 따라서, 이러한 시간 복잡도를 가진 알고리즘을 사용할 때는 입력 크기의 범위를 고려하고, 성능 요구 사항을 충족할 수 있는지 신중하게 검토해야 합니다.
**6. 시간 복잡도 개선 방향:**
만약 O((k² + N)k) 시간 복잡도를 가진 알고리즘의 성능이 만족스럽지 않다면, 다음 사항들을 고려하여 알고리즘을 개선하거나 다른 알고리즘을 찾아보는 것을 고려해 볼 수 있습니다.
- **더 효율적인 알고리즘 탐색:** 문제 해결을 위해 더 낮은 시간 복잡도를 가진 알고리즘이 존재하는지 찾아봅니다. 예를 들어, O(N log N)이나 O(N²) 시간 복잡도를 가진 알고리즘이 있다면 성능을 크게 향상시킬 수 있습니다.
- **코드 최적화:** 알고리즘 자체의 시간 복잡도를 개선하기 어렵다면, 코드 최적화를 통해 상수 시간 요소를 줄여 성능을 개선할 수 있습니다. 예를 들어, 불필요한 연산 제거, 자료 구조 개선, 반복문 최적화 등을 시도해 볼 수 있습니다.
- **휴리스틱 또는 근사 알고리즘 사용:** 정확한 해를 구하는 대신, 휴리스틱 또는 근사 알고리즘을 사용하여 더 빠른 시간 안에 근사적인 해를 구하는 것을 고려할 수 있습니다. 특히, 최적해를 반드시 구할 필요가 없는 경우 유용할 수 있습니다.
**결론:**
O((k² + N)k) 시간 복잡도는 비교적 느린 편에 속하며, 특히 k가 커질수록 실행 시간이 매우 빠르게 증가합니다. 알고리즘을 선택하거나 개선할 때, 시간 복잡도를 고려하여 효율적인 알고리즘을 사용하는 것이 중요합니다. 입력 크기, 성능 요구 사항, 그리고 문제의 특성을 종합적으로 고려하여 적절한 알고리즘을 선택하시기 바랍니다.아...
🤖 CSS Stylesheet님 라율봇 HYPER의 답변입니다.
질문: 어떤 라이브러리에서 다항함수를 코드를 보이지 않고 제공할때 수학적인 방법으로 다항함수를 유추할려면 어케야하는지가 [이런 결론이 났거든](https://lrl.kr/HIMt), 이런 시간복잡도가 과연 정상이야?
주제
- 다항 함수 추론의 수학적 방법
- 시간 복잡도 분석
- 시간 복잡도에 대한 추가 고려 사항
- 결론
CSS Stylesheet님의 질문에 답변드리겠습니다. 다항 함수를 코드를 보이지 않고 제공받았을 때, 수학적인 방법으로 다항 함수를 유추하는 방법과 제시된 시간 복잡도가 정상적인지에 대한 질문입니다.
주제: 다항 함수 추론의 수학적 방법
- 다항 함수를 유추하는 가장 일반적인 수학적 방법은 **보간법(Interpolation)**입니다.
- 보간법은 주어진 점들을 이용하여 그 점들을 지나는 다항 함수를 찾는 방법입니다.
- 만약 n+1개의 점 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)이 주어졌다면, 이 점들을 모두 지나는 유일한 n차 다항 함수를 찾을 수 있습니다.
- 보간법에는 여러 가지 방법이 있지만, 대표적인 방법은 **라그랑주 보간법(Lagrange Interpolation)**과 **뉴턴 보간법(Newton Interpolation)**입니다.
- 라그랑주 보간법:
- 라그랑주 보간법은 다음과 같은 형태의 다항 함수를 구성합니다.
```
P(x) = ∑_(i=0)^n y_i * L_i(x)
```
- 여기서 L_i(x)는 라그랑주 기본 다항식(Lagrange basis polynomial)으로 다음과 같이 정의됩니다.
```
L_i(x) = ∏_(j=0, j≠i)^n (x - x_j) / (x_i - x_j)
```
- 라그랑주 보간법은 직관적이고 이해하기 쉽지만, 계산량이 많다는 단점이 있습니다.
- 뉴턴 보간법:
- 뉴턴 보간법은 **분할 차분(Divided Difference)** 개념을 이용하여 다항 함수를 구성합니다.
- 뉴턴 보간법은 다음과 같은 형태의 다항 함수를 구성합니다.
```
P(x) = c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + c_n(x - x_0)(x - x_1)...(x - x_(n-1))
```
- 여기서 계수 c_i는 분할 차분을 이용하여 계산합니다.
- 뉴턴 보간법은 라그랑주 보간법보다 계산 효율이 좋고, 새로운 점이 추가될 때 계산을 효율적으로 업데이트할 수 있다는 장점이 있습니다.
- 어떤 보간법을 사용하든, 주어진 점들을 이용하여 다항 함수를 유추할 수 있습니다.
- 실제로 라이브러리에서 다항 함수를 제공할 때, 내부적으로 보간법과 유사한 방법을 사용하여 다항 함수를 생성하고 제공할 가능성이 높습니다.
주제: 시간 복잡도 분석
- 다항 함수를 유추하기 위한 보간법의 시간 복잡도를 분석해 보겠습니다.
- n+1개의 점을 이용하여 n차 다항 함수를 보간하는 경우를 생각해 봅시다.
- 라그랑주 보간법의 시간 복잡도:
- 각 라그랑주 기본 다항식 L_i(x)를 계산하는 데 O(n) 시간이 걸립니다. (n개의 곱셈 및 나눗셈 필요)
- n+1개의 라그랑주 기본 다항식을 계산해야 하므로 총 O(n^2) 시간이 걸립니다.
- 각 항 y_i * L_i(x)를 계산하고 합하는 데 추가적으로 O(n^2) 시간이 걸릴 수 있습니다.
- 따라서 라그랑주 보간법의 총 시간 복잡도는 **O(n^2)**입니다.
- 뉴턴 보간법의 시간 복잡도:
- 분할 차분을 계산하는 데 O(n^2) 시간이 걸립니다. (분할 차분 테이블을 채우는 과정)
- 분할 차분 계수 c_i를 이용하여 다항 함수를 구성하는 데 O(n) 시간이 걸립니다.
- 따라서 뉴턴 보간법의 총 시간 복잡도는 **O(n^2)**입니다.
- 제시된 링크([https://lrl.kr/HIMt](https://lrl.kr/HIMt))에서 어떤 시간 복잡도가 제시되었는지 정확히 알 수 없지만, 일반적으로 **다항 함수 보간법의 시간 복잡도는 O(n^2)이 정상**입니다.
- 여기서 n은 주어진 점의 개수 또는 다항 함수의 차수와 관련됩니다.
- 만약 링크에서 제시된 시간 복잡도가 O(n^2) 근처라면, 충분히 정상적인 시간 복잡도라고 볼 수 있습니다.
주제: 시간 복잡도에 대한 추가 고려 사항
- 시간 복잡도는 알고리즘의 효율성을 평가하는 중요한 지표이지만, 실제 성능은 여러 요인에 의해 영향을 받을 수 있습니다.
- 예를 들어, 상수 계수, 하드웨어 성능, 구현 방식 등에 따라 실제 실행 시간은 달라질 수 있습니다.
- 또한, 문제의 특성에 따라 더 효율적인 알고리즘이 존재할 수도 있습니다.
- 만약 주어진 점의 개수가 매우 많거나, 실시간으로 다항 함수를 유추해야 하는 경우에는 O(n^2) 시간 복잡도가 문제가 될 수 있습니다.
- 이러한 경우에는 더 효율적인 알고리즘을 찾아보거나, 근사적인 방법을 사용하는 것을 고려해 볼 수 있습니다.
- 하지만 일반적으로 다항 함수 보간법은 O(n^2) 시간 복잡도를 가지며, 이는 많은 경우에 충분히 효율적인 수준입니다.
주제: 결론
- 다항 함수를 코드를 보이지 않고 제공받았을 때, 수학적인 방법으로 다항 함수를 유추하는 방법은 **보간법**입니다.
- 대표적인 보간법으로는 **라그랑주 보간법**과 **뉴턴 보간법**이 있으며, 이 방법들을 통해 주어진 점들을 지나는 다항 함수를 찾을 수 있습니다.
- 다항 함수 보간법의 일반적인 시간 복잡도는 **O(n^2)**이며, 이는 많은 경우에 정상적이고 효율적인 수준입니다.
- 따라서 링크에서 제시된 시간 복잡도가 O(n^2) 근처라면, 충분히 정상적인 시간 복잡도라고 판단할 수 있습니다.
- 하지만 시간 복잡도는 문제의 상황과 요구 사항에 따라 상대적으로 평가해야 하며, 필요에 따라 더 효율적인 방법을 고려할 수도 있습니다.
CSS Stylesheet님의 질문에 대해 자세하고 친절하게 답변해 드리고자 노력했습니다. 추가적으로 궁금한 점이나 더 자세한 설명이 필요하시면 언제든지 다시 질문해 주세요.어.... 아... 보간 알고리즘을 배워야 하는구나